x+x^2+x^3......+x^n 为什么等于x/1-x

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秀车网用户
2024-10-20

最佳答案

这是一个著名的等比数列求和问题。我们可以通过数学归纳法来证明这个公式。
首先，当n = 1时，等式左边是x，右边是x - x = 0，所以等式成立。
现在假设当n = k时，等式成立，即：
x + x^2 + x^3 + ... + x^k = x / (1 - x) 那么当n = k + 1时，我们需要计算x + x^2 + x^3 + ... + x^(k+1)的值。
根据等比数列求和公式，我们有：
x + x^2 + x^3 + ... + x^(k+1) = x * [1 - x^(k+1)] / (1 - x) 将x^k替换为x / (1 - x)，我们得到：
x + x^2 + x^3 + ... + x^(k+1) = x * [1 - x^(k+1)] / (1 - x) 由于我们已经假设了当n = k时等式成立，所以我们有：
x + x^2 + x^3 + ... + x^(k+1) = x * [1 - x^(k+1)] / (1 - x) 将等式左边的x + x^2 + x^3 + ... + x^(k+1)与右边的表达式相等，我们得到：
x * [1 - x^(k+1)] / (1 - x) = x / (1 - x) 简化后，我们得到：
x * (1 - x^(k+1)) = x 进一步化简得：
1 - x^(k+1) = 1 因此，当n = k + 1时，等式也成立。
通过数学归纳法，我们证明了对于任意正整数n，等式x + x^2 + x^3 + ... + x^n = x / (1 - x)都成立。

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